Estadísticas - modelo Black-Scholes

El modelo Black Scholes es un modelo matemático para verificar la variación de precios a lo largo del tiempo de instrumentos financieros como acciones que se pueden usar para calcular el precio de una opción de compra europea. Este modelo supone que el precio de los activos que se negocian fuertemente sigue un movimiento browniano geométrico que tiene una deriva y volatilidad constantes. En el caso de la opción de compra de acciones, el modelo Black Scholes incorpora la variación constante del precio de las acciones subyacentes, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y su tiempo de vencimiento.

El modelo Black Scholes fue desarrollado en 1973 por Fisher Black, Robert Merton y Myron Scholes y todavía se usa ampliamente en los mercados financieros eufóricos. Proporciona una de las mejores formas de determinar precios justos de opciones.

Entradas

El modelo Black Scholes requiere cinco entradas.

  • Precio de ejercicio de una opción

  • Precio actual de las acciones

  • Tiempo de expiración

  • Tasa libre de riesgo

  • Volatilidad

Supuestos

El modelo Black Scholes asume los siguientes puntos.

  • Los precios de las acciones siguen una distribución lognormal.

  • Los precios de los activos no pueden ser negativos.

  • Sin costo de transacción ni impuestos.

  • La tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos.

  • Se permite la venta en corto de valores con el uso de los ingresos.

  • No hay oportunidad de arbitraje sin riesgo presente.

Fórmula

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, donde \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Donde -

  • $ {C} $ = Valor de la opción de compra.

  • $ {P} $ = Valor de la opción de venta.

  • $ {S} $ = Precio de la acción.

  • $ {K} $ = Precio de ejercicio.

  • $ {r} $ = Tasa de interés libre de riesgo.

  • $ {T} $ = Tiempo hasta el vencimiento.

  • $ {\ sigma} $ = Volatilidad anualizada.

Limitaciones

El modelo Black Scholes tiene las siguientes limitaciones.

  • Solo aplicable a las opciones europeas, ya que las opciones americanas podrían ejercerse antes de su vencimiento.

  • El dividendo constante y las tasas libres de riesgo constantes pueden no ser realistas.

  • La volatilidad puede fluctuar con el nivel de oferta y demanda de opciones, por lo que ser constante puede no ser cierto.