Estadísticas - Distribución Chi-cuadrado

La distribución chi-cuadrado (chi-cuadrado o $ {X ^ 2} $ - distribución) con grados de libertad, k es la distribución de una suma de los cuadrados de k variables aleatorias normales estándar independientes. Es una de las distribuciones de probabilidad más utilizadas en estadística. Es un caso especial de la distribución gamma.

Distribución Chi-cuadrado

La distribución chi-cuadrado es ampliamente utilizada por los estadísticos para calcular lo siguiente:

  • Estimación del intervalo de confianza para una desviación estándar poblacional de una distribución normal utilizando una desviación estándar de muestra.

  • Verificar la independencia de dos criterios de clasificación de múltiples variables cualitativas.

  • Para verificar las relaciones entre variables categóricas.

  • Estudiar la varianza muestral donde la distribución subyacente es normal.

  • Para probar las desviaciones de las diferencias entre las frecuencias esperadas y observadas.

  • Para realizar una prueba de chi-cuadrado (una prueba de bondad de ajuste).

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución Chi-Cuadrada se da como:

Fórmula

$ {f (x; k) =} $ $ \ begin {cases} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {if $ x \ le 0 $} \ end {cases} $

Donde -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = Función gamma que tiene valores de forma cerrada para el parámetro entero k.

  • $ {x} $ = variable aleatoria.

  • $ {k} $ = parámetro entero.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución Chi-Square se da como:

Fórmula

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ Gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

Donde -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = función gamma incompleta inferior.

  • $ {P (s, t)} $ = función gamma regularizada.

  • $ {x} $ = variable aleatoria.

  • $ {k} $ = parámetro entero.