Estadísticas - Distribución gamma

La distribución gamma representa distribuciones de probabilidad continua de la familia de dos parámetros. Las distribuciones gamma se diseñan generalmente con tres tipos de combinaciones de parámetros.

  • Un parámetro de forma $ k $ y un parámetro de escala $ \ theta $.

  • Un parámetro de forma $ \ alpha = k $ y un parámetro de escala inversa $ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $, llamado como parámetro de tasa.

  • Un parámetro de forma $ k $ y un parámetro medio $ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $.

Distribución gamma

Cada parámetro es un número real positivo. La distribución gamma es la distribución de probabilidad de entropía máxima impulsada por los siguientes criterios.

Fórmula

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \ y \ is \ fixed. \\ [7pt] E [ln (X)] = \ psi (k) + ln (\ theta) = \ psi (\ alpha) - ln (\ beta) \ y \ is \ fixed. PS

Donde -

  • $ {X} $ = Variable aleatoria.

  • $ {\ psi} $ = función digamma.

Caracterización usando la forma $ \ alpha $ y la tasa $ \ beta $

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución Gamma se da como:

Fórmula

$ {f (x; \ alpha, \ beta) = \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha - 1} e ^ {- x \ beta}} {\ Gamma (\ alpha)} \ where \ x \ ge 0 \ y \ \ alpha, \ beta \ gt 0} $

Donde -

  • $ {\ alpha} $ = parámetro de ubicación.

  • $ {\ beta} $ = parámetro de escala.

  • $ {x} $ = variable aleatoria.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución Gamma se da como:

Fórmula

$ {F (x; \ alpha, \ beta) = \ int_0 ^ xf (u; \ alpha, \ beta) du = \ frac {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} {\ Gamma (\ alpha)} PS

Donde -

  • $ {\ alpha} $ = parámetro de ubicación.

  • $ {\ beta} $ = parámetro de escala.

  • $ {x} $ = variable aleatoria.

  • $ {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} $ = función gamma incompleta inferior.

Caracterización usando la forma $ k $ y la escala $ \ theta $

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución Gamma se da como:

Fórmula

$ {f (x; k, \ theta) = \ frac {x ^ {k - 1} e ^ {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma (k)} \ where \ x \ gt 0 \ y \ k, \ theta \ gt 0} $

Donde -

  • $ {k} $ = parámetro de forma.

  • $ {\ theta} $ = parámetro de escala.

  • $ {x} $ = variable aleatoria.

  • $ {\ Gamma (k)} $ = función gamma evaluada en k.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución Gamma se da como:

Fórmula

$ {F (x; k, \ theta) = \ int_0 ^ xf (u; k, \ theta) du = \ frac {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} {\ Gamma (k PS

Donde -

  • $ {k} $ = parámetro de forma.

  • $ {\ theta} $ = parámetro de escala.

  • $ {x} $ = variable aleatoria.

  • $ {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} $ = función gamma incompleta inferior.