Estadísticas - Teorema multiplicativo de probabilidad

Para eventos independientes

El teorema establece que la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos que son independientes viene dada por el producto de sus probabilidades individuales.

$ {P (A \ y \ B) = P (A) \ veces P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ veces P (B)} $

El teorema puede extenderse a tres o más eventos independientes también como

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) P (A, B \ y \ C) = P (A) \ times P (B) \ veces P (C)} $

Ejemplo

Planteamiento del problema:

Una universidad debe designar un profesor que debe ser B.Com., MBA y Ph. D, cuya probabilidad es $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ y $ {\ frac {1} {40}} $ respectivamente. Encuentre la probabilidad de que la universidad designe a esa persona.

Solución:

Probabilidad de que una persona sea un B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Probabilidad de que una persona sea MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Probabilidad de que una persona sea Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Usando el teorema multiplicativo para eventos independientes

$ {P (A, B \ y \ C) = P (A) \ veces P (B) \ veces P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ veces \ frac {1} {25} \ veces \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ veces .04 \ veces .025 \\ [7pt] = .00005} $

Para eventos dependientes (probabilidad condicional)

Como se definió anteriormente, los eventos dependientes son aquellos en los que la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento afectan el resultado del siguiente evento. Para tales eventos, el teorema multiplicativo mencionado anteriormente no es aplicable. La probabilidad asociada con tales eventos se llama probabilidad condicional y viene dada por

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ o $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Lea P (A / B) como la probabilidad de ocurrencia del evento A cuando el evento B ya ha ocurrido.

Del mismo modo, la probabilidad condicional de B dado A es

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ o $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Ejemplo

Planteamiento del problema:

Se lanza una moneda 2 veces. El lanzamiento resultó en una cabeza y una cola. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer lanzamiento resulte en una cola?

Solución:

El espacio muestral de una moneda lanzada dos veces se da como S = {HH, HT, TH, TT}

Deje que el Evento A sea el primer lanzamiento que resulte en una cola.

El evento B es que ocurrió una cola y una cabeza.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Entonces \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0.5} $