Estadísticas - Ecuación de regresión cuadrática

La regresión cuadrática se implementa para descubrir una ecuación de la parábola que mejor se adapte al conjunto de datos dado. Es de la siguiente forma:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ where \ a \ ne 0} $

El método de mínimos cuadrados se puede utilizar para descubrir la ecuación de regresión cuadrática. En este método, descubrimos el valor de a, byc de modo que la distancia vertical al cuadrado entre cada punto dado ($ {x_i, y_i} $) y la ecuación de la parábola ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2} $) es mínimo. La ecuación matricial para la curva parabólica viene dada por:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatrix}} $

Coeficiente de correlación, r

Coeficiente de correlación, r determina qué tan buena puede ajustarse una ecuación quardrática a los datos dados. Si r está cerca de 1, entonces es un buen ajuste. r puede calcularse siguiendo la fórmula.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ where \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

En general, las calculadoras de regresión cuadrática se utilizan para calcular la ecuación de regresión cuadrática.

Ejemplo

Planteamiento del problema:

Calcule la ecuación de regresión cuadrática de los siguientes datos. Comprueba su mejor estado físico.

X -3 -2 -1 0 0 1 2 3
y 7.5 3 0.5 0.5 1 3 6 6 14

Solución:

Calcule una regresión cuadrática en la calculadora colocando los valores x e y. La ecuación cuadrática de mejor ajuste para los puntos anteriores viene como

$ {y = 1.1071x ^ 2 + 0.5714x} $

Para verificar el mejor estado físico, trace el gráfico.

ecuación de regresión cuadrática

Entonces, el valor del coeficiente de correlación, r para los datos es 0.99420 y está cerca de 1. Por lo tanto, la ecuación de regresión cuadrática es la más adecuada.