Estadísticas - Tamaño de muestra requerido

Una parte crítica de la prueba es la elección de la medida de la prueba, es decir, la cantidad de unidades que se elegirán de la población para completar la exploración. No hay una respuesta inequívoca o una respuesta para caracterizar el tamaño más adecuado. Hay ciertos juicios equivocados con respecto a la duración de la prueba, como el ejemplo debería ser el 10% de la población o el tamaño de la muestra es relativo a la extensión del universo. Sin embargo, como se dijo antes, estos son solo juicios equivocados. Cuán extenso debe ser un espécimen es la capacidad de la variedad en los parámetros de población en estudio y la exactitud de evaluación requerida por el especialista.

La decisión sobre el tamaño óptimo de la muestra puede abordarse desde dos ángulos, a saber. lo subjetivo y matemático.

  1. Enfoque subjetivo para determinar el tamaño de la muestra

  2. Enfoque matemático para la determinación del tamaño de la muestra

Enfoque subjetivo para determinar el tamaño de la muestra

La elección del tamaño de la muestra se ve afectada por varios factores que se analizan a continuación:

  • La naturaleza de la población : el nivel de homogeneidad o heterogeneidad influye en la extensión de un espécimen. En el caso de que la población sea homogénea con respecto a las cualidades de interés, incluso un pequeño tamaño de la muestra es adecuada. Sin embargo, en el caso de que la población sea heterogénea, se requeriría un ejemplo más amplio para garantizar una representatividad suficiente.

  • Naturaleza del encuestado : si los encuestados son accesibles y disponibles sin esfuerzo, los datos requeridos se pueden obtener de un pequeño ejemplo. En el caso de que, no obstante, los encuestados no cooperen y se considere que la no reacción es alta, se requiere una muestra más grande.

  • Naturaleza del estudio : puede llevarse a cabo un estudio único utilizando un ejemplo sustancial. Si se producen estudios de examen que son de naturaleza constante y deben completarse seriamente, un pequeño espécimen es más adecuado, ya que es todo menos difícil de supervisar y mantener un pequeño ejemplo durante un largo período de tiempo.

  • Técnica de muestreo utilizada : una variable esencial que afecta el alcance de la prueba es el sistema de examen recibido. En primer lugar, un sistema de no probabilidad requiere un espécimen más grande que una estrategia de probabilidad. Además de las pruebas de probabilidad, si se utiliza un examen directo e irregular, se requiere un ejemplo más grande que si se utiliza la estratificación, donde una pequeña muestra es adecuada.

  • Complejidad de la tabulación : mientras se establece la estimación de la muestra, el especialista también debe considerar la cantidad de clasificaciones y clases en las que se deben reunir y desglosar los descubrimientos. Se ha visto que cuanto mayor sea la cantidad de clasificaciones que se producirán, mayor será el tamaño del ejemplo. Como se debe hablar lo suficiente con cada clase, se requiere un espécimen más grande para dar medidas sólidas de la clasificación más pequeña.

  • Disponibilidad de recursos : los activos y el tiempo accesible para el especialista afectan el alcance de la prueba. El examen es un período y la asignación de dinero en efectivo, con ejercicios como la preparación del instrumento, la contratación y preparación del personal de campo, los costos de transporte, etc., que abarcan una considerable cantidad de activos. Posteriormente, si el científico no tiene suficiente tiempo y los apoyos accesibles, se decidirá por un ejemplo más pequeño.

  • Grado de precisión y precisión requerido . De nuestro discurso anterior ha quedado claro que la precisión, que se mide mediante un error estándar, será alta solo si el SE es menor o el tamaño del ejemplo es sustancial.

También para obtener un alto nivel de precisión se requiere una muestra más grande. Además de estos esfuerzos subjetivos, el tamaño de la muestra también se puede determinar matemáticamente.

Enfoque matemático para la determinación del tamaño de la muestra

En el enfoque matemático para la determinación del tamaño de la muestra, primero se establece la precisión de la estimación requerida y luego se calcula el tamaño de la muestra. La precisión se puede especificar como $ {\ pm} $ 1 de la media real con un nivel de confianza del 99%. Esto significa que si la media muestral es 200, entonces el valor verdadero de la media estará entre 199 y 201. Este nivel de precisión se denota con el término 'c'

Determinación del tamaño de muestra para medias.

El intervalo de confianza para la media del universo viene dado por

$ {\ bar x \ pm Z \ frac {\ sigma_p} {\ sqrt N} \ o \ \ bar x \ pm e} $

Donde -

  • $ {\ bar x} $ = Media de muestra

  • $ {e} $ = Error aceptable

  • $ {Z} $ = Valor de la variante normal estándar en un nivel de confianza dado

  • $ {\ sigma_p} $ = Desviación estándar de la población

  • $ {n} $ = Tamaño de la muestra

El error aceptable 'e', es decir, la diferencia entre $ {\ mu} $ y $ {\ bar x} $ viene dada por

$ {Z. \ frac {\ sigma_p} {\ sqrt N}} $

Por lo tanto, el tamaño de la muestra es:

$ {n = \ frac {Z ^ 2 {\ sigma_p} ^ 2} {e ^ 2}} $

O

En caso de que el tamaño de la muestra sea significativo con respecto al tamaño de la población, entonces la fórmula anterior será corregida por el multiplicador de población finita.

$ {n = \ frac {Z ^ 2.N. {\ sigma_p} ^ 2} {(N-1) e ^ 2 + Z ^ 2. {\ sigma_p} ^ 2}} $

Donde -

  • $ {N} $ = tamaño de la población

Determinación del tamaño de la muestra para proporciones

El método para determinar el tamaño de la muestra al estimar una proporción sigue siendo el mismo que el método para estimar la media. El intervalo de confianza para la proporción universal $ {\ hat p} $ viene dado por

$ {p \ pm Z. \ sqrt {\ frac {pq} {n}}} $

Donde -

  • $ {p} $ = proporción de muestra

  • $ {q = (1 - p)} $

  • $ {Z} $ = Valor de la variante normal estándar para una proporción de muestra

  • $ {n} $ = Tamaño de la muestra

Como se debe estimar $ {\ hat p} $, por lo tanto, el valor de p se puede determinar tomando el valor de p = 0.5, un valor aceptable, dando un tamaño de muestra conservador. La otra opción es que el valor de p se estima a través de un estudio piloto o sobre una base de juicio personal. Dado el valor de p, el error aceptable 'e' viene dado por

$ {e = Z. \ sqrt {\ frac {pq} {n}} \\ [7pt] e ^ 2 = Z ^ 2 \ frac {pq} {n} \\ [7pt] n = \ frac {Z ^ 2.pq} {e ^ 2}} $

En caso de que la población sea finita, la fórmula anterior será corregida por el multiplicador de población finita.

$ {n = \ frac {Z ^ 2.pqN} {e ^ 2 (N-1) + Z ^ 2.pq}} $

Ejemplo

Planteamiento del problema:

Una tienda de compras está interesada en estimar la proporción de hogares que poseen la tarjeta de membresía Privilege de la tienda. Estudios anteriores han demostrado que el 59% de los hogares tenían una tarjeta de crédito de la tienda. Con un nivel de confianza del 95% con un nivel de error tolerable de 05.

  1. Determine el tamaño de muestra requerido para realizar el estudio.

  2. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra si se sabe que el número de hogares objetivo es 1000?

Solución:

La tienda tiene la siguiente información

$ {p = .59 \\ [7pt] \ Rightarrow q = (1-p) = (1-.59) = .41 \\ [7pt] CL = .95 \\ [7pt] Y \ the \ Z \ estándar \ variate \ para \ CL \ .95 \ is \ 1.96 \\ [7pt] e = \ pm .05} $

El tamaño de la muestra se puede determinar aplicando la siguiente fórmula:

$ {n = \ frac {Z ^ 2.pq} {e ^ 2}} $
$ {n = \ frac {(1.96) ^ 2. (. 59). (. 41)} {(. 05) ^ 2} \\ [7pt] = \ frac {.9226} {. 0025} \\ [ 7pt] = 369} $

Por lo tanto, una muestra de 369 hogares es suficiente para realizar el estudio.

Dado que se sabe que la población, es decir, los hogares objetivo, es 1000 y la muestra anterior es una proporción significativa de la población total, por lo tanto, se utiliza la fórmula corregida que incluye el multiplicador de población finita.

$ {n = \ frac {Z ^ 2.pqN} {e ^ 2 (N-1) + Z ^ 2.pq} \\ [7pt] = \ frac {(1.96) ^ 2. (. 59). ( .41). (1000)} {(. 05) ^ 2 \ times 999 + (1.96) ^ 2 (.59) (. 41)} \\ [7pt] = \ frac {922.6} {2.497 + .922} \\ [7pt] = 270} $

Por lo tanto, si la población es limitada con 1000 hogares, el tamaño de muestra requerido para realizar el estudio es 270.

De esta ilustración es evidente que si se conoce el tamaño de la población, entonces el tamaño de la muestra determinada ha disminuido en tamaño.